反应谱分析动力学基础

 08年汶川地震后，结构抗震设计和分析越来越受到重视。相较工程师们熟悉的静力设计，抗震计算基于动力分析，而深入的结构动力学课程多开设在研究生阶段，即使在交大这种专业实力较强的学校也并不是每个研究方向的桥梁系学生都会选修。我的不少在设计院的朋友也抱怨因为工作繁忙，没有时间和精力拿出结构动力学的书再啃一遍，在按规范进行抗震设计时很多概念都不好理解。恰好最近要帮某院做一个讲座，将PPT部分内容整理了下写了这篇简介。希望能在较短的篇幅内将抗震分析的各个概念解释清楚，文中的公式推导都比较简略，只是为了配合对各概念进行说明，详细内容可参阅 Chopra编写的《结构动力学》一书。

      利用牛顿第二定律和动平衡的概念，可以得到简单结构简化为单自由度体系在地震激励下的响应方程（式1）。两端同时除以结构质量m，方程变换为式2。式中Dn为质点相对地面位移，其一阶导数和二阶导数分别为相对速度和相对加速度。ωn为结构频率其倒数即为结构周期Tn，ζn即为阻尼比。对于简单激励，上式有解析解，对于地震这种复杂激励，一般通过Newmark法等数值方法计算。我认为工程师无需了解算法过程，知道能编程或利用软件算出来就好了。若有兴趣可参阅 Chopra编写的《结构动力学》一书。

     对于特定地震波如著名的EI波（图a)其对应的反应谱曲线为将各不同周期的单自由度体系在同一阻尼比下求解得到的峰值响应连线而成。如上图（b）所示，当阻尼比为2%时，Tn=0.5s时位移响应最大值为2.67inch，ζn=2%、Tn=1s时位移响应值为5.97inch，ζn=2%、Tn=2s时位移响应值为7.47inch.故在位移反应谱曲线上（图c)，横坐标为0.5s，1s，2s 对应的纵坐标值为2.67、5.97、7.47inch。

如上图所示，ζn=2%，T=0.5s，1s，2s 的单自由度结构，在E1地震作用下，其峰值速度响应和峰值加速度响应分别将为：33.7inch/s、37.5inch/s、23.5inch/s和1.09inch/s^2、0.610inch/s^2、0.191inch/s^2。

      一般来说，我们在进行抗震分析时所用的各种场地的地震设计谱，是地震局等研究机构根据世界范围内同类场地上发生过的地震记录，计算多条地震激励的响应谱，通过类似对各地震波响应谱值求平均这样的方式得到（当然确定场地设计谱是一个很复杂的过程，需要做地震危险性概率分析等工作，绝不是简单求平均，这里只是简单说明下生成过程）。

       对于单自由度体系，根据设防标准对应的场地反应谱曲线，我们可以直接查到在某一特定周期和特定阻尼比的结构在设防地震下其可能出现的地震位移、速度、和位移响应峰值，近而直接计算出结构内力。但实际结构复杂多变，常常并不能等效为单自由度结构。对于多自由体系，其运动方程如下：

      以上公式推导，看不懂也没关系，只是为了说明，对于一个具有n个自由度（n个振型）的经典阻尼多自由度体系，其运动方程可等效为求解n个互不耦联的微分方程。观察公式4.4和图1公式，可以看出，这n个方程可看作是n个质量为广义质量Mn，阻尼为广义阻尼Cn、刚度为广义刚度的单自由度体系在激励Pn下的响应。

通过推导，激励Pn将变化为式4.8形式

由式（4.9）和式2，我们易得式（4.8）的响应结果，各振型中各质点的响应值通过式4.10计算。将n个方程计算出来的各节点响应值叠加，即可计算得总反应（式4.11）

以上即为多自由度经典阻尼结构动力计算的振型分解计算法。看不懂没关系，只要知道多自由经典阻尼体系弹性动力响应是可以等效为n个振型对应的单自由度体系的响应叠加就好了。

以下，将对自由度体系的反应谱法进行说明

    通过查阅场地设计谱曲线，由上图公式可以直接计算出各阶振型各节点在设防地震下的响应峰值，但因为因为在通常情况的地震激励下，各阶振型一般在不同时刻到达各自的峰值，故研究者们基于随机振动等理论发展了多种振型组合方法来确定多自由度体系各自由度处的响应峰值。

   以上是为了说明为何多自由度体系的各阶振型反应谱计算结果要通过振型组合方法组合，以及常用振型组合方法有SRSS，和CQC。一般对于复杂桥梁考虑振型耦合效应，应选择CQC方法。

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知识点：反应谱分析动力学基础