本文介绍单自由度弹性体系运动方程、多自由度弹性体系运动方程、振型分解法,这些内容是结构抗震设计的结构动力学基础。
1、单自由度弹性体系运动方程
1)运动方程
根据达朗贝尔原理,得到单自由度体系的运动方程:
运动方程可以简化为:
2)运动方程的解
运动方程的解包括两部分,一是自由振动的齐次解,一是强迫振动的特解。
(1)齐次解
(2)特解
①瞬时冲量引起的自由振动
②杜哈密积分
由瞬时冲量概念出发,得到质点在地震作用下的强迫振动反应,即杜哈密积分:
2、多自由度弹性体系运动方程
1)运动方程
2)频率方程
以两自由度体系为例,由自由振动方程,并忽略阻尼的影响,可推导出频率方程:
3)振型
仍以两自由度体系为例,质点的位移不是独立的,即在结构振动过程中的任意时刻,这两个质点的位移比值始终保持不变,这种振动形式通常称为主振型,或简称振型。
需要说明,出现上述振动需要满足特定的初始条件,即各质点的初位移和初速度必须具有与主振型同样的比例关系,在一般条件下,任意质点的振动是各振型的叠加。
4)振型的正交性
由功的互动定理,得到多自由度体系任意两个振型对质量矩阵的正交性:{X}jT[m]{X}k=0;
进一步得到对刚度矩阵的正交性:{X}jT[k]{X}k=0。
3、振型分解法
1)坐标变换
多自由度体系的运动方程必须联立求解,为了简化计算,引入广义坐标qj(t),将位移向量写成以振型为基底、qj(t)为系数的累加和,将未知变量由位移转变为广义坐标。
2)独立方程的建立
3)独立方程的求解
4)振型参与系数的性质
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知识点:运动方程及振型分解法
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