环境激励下结构振动频率和幅值的在线跟踪——基于APES后处理和卡尔曼滤波的方法

摘要

从环境激励下的结构振动信号中，在线识别时变频率和振幅是健康监测数据处理中的一个重要内容。对此，本文提出了一种新的识别方法：我们假设结构振动信号在一个较短的时间窗内是平稳的, 首先用APES法得到对应窗口内信号的幅值谱，然后结合FSP后处理技术 自动从幅值谱中提取模态频率和振幅 （提取的频率和幅值可视为该窗口内瞬时频率和瞬时幅值的平均值）。由于实测结构振动响应的非平稳性和环境激励下幅值谱形状的不确定性，利用识别出的频率和幅值来预测下一个窗口内的响应信号（假设相邻窗口内频率和幅值变化很小）， 通过引入卡尔曼滤波以提高测量信号的质量 ，从而提高频率和幅值的识别、跟踪效果。利用数值算例对所提出方法进行了定量验证，并应用该方法分析了实际结构的振动信号，这些信号分别采样自斜拉桥的拉索、拱桥的吊杆和悬索桥的主梁。

一、引言

近年来，许多大型土木工程结构如大跨桥梁、高耸建筑、大坝等都安装了结构健康监测系统，收集了大量的监测数据，用于结构状态评估和损伤诊断。频率作为结构的自然属性，是在监测数据处理中需要关注的最基本、最重要的指标之一。 对于实际服役结构，特别是承载着变化的活载的大跨桥梁，表现出非平稳、非线性的动力特性 ，因此，时变频率的识别成为许多研究的重点。

结构的振动响应一般可建模为多个调幅(AM)和调频(FM)分量的叠加:

其中，a(t)和\phi(t)分别表示瞬时幅值(IA)和瞬时相位(IP)。相位可以表示为

瞬时频率（IF）则通常定义为相位函数的一阶导数：

对于结构响应，式(1)和(2)中，振幅的时变性主要是由 环境激励的随机性和能量耗散 引起的；频率的时变性主要是由结构本身的 不确定性 (如温度引起的约束变化、车辆通过引起的质量变化等)和结构本身的 退化 (如截面损伤引起的刚度降低、材料腐蚀等)引起的。不确定性导致频率在参考值(即固有频率)附近或快速或缓慢地波动，而退化导致频率永久变化，不能自动恢复。这种 频率和幅值的波动和演化规 律 可以用于损伤检测、疲劳分析等。同样，它们也可以作为底层的提取特征用于数据驱动的结构诊断技术。

现主要有两类方法可用于瞬时频率的识别。 一类方法是基于模态分解的 。首先，将多分量信号分解为单分量（IMF）；然后利用Hilbert变换得到各个分量的解析形式，

则从解析信号中可计算得到瞬时幅值和瞬时相位，进而从瞬时相位可计算得到瞬时频率

另一类方法是基于时频分析的 。首先，利用通过时频分析方法将原始一维信号转换到二维时频平面

然后，从时频平面提取嵌入的瞬时频率迹线 (或称为脊线检测，ridge detection)

当然，上述两类方法并不是完全独立的。一方面，支持信号重构的时频分析方法也可以用于模式分解。另一方面，通过模态分解方法分解出的IMF也可以转换到时频平面。

图1. 主要瞬时频率识别方法。

已有的研究为瞬时频率识别提供了强有力的、丰富的方法和途径。然而，在如今健康监测的语境中，我们不仅需要识别时变参数来指示结构状态，而且需要在线地、实时地实现这一任务，以支持更及时的异常检测和决策。然而，图1中现有的大多数方法是通过离线批处理的方式实现的。为了适应在线数据分析的要求，有必要对其进行一些修改。 显然，在在线监测环境中，存在着非常弱的激励时期，即信噪比很低。由于噪声分散在除残差项外的分量中，因此根据式（2）或（4）辨识出的瞬时频率将受到极大影响。低信噪比也导致时频平面中频率轨迹淹没在噪声丛林中，增加了脊线提取的难度。另外，由于激励的随机性，参与振动的模态分量及其个数在不同的时期内是不同的。这对一些需要预先指定信号分量个数的模态分解方法和脊线提取算法来说是进一步的障碍。

二、方法简介

简单来说，本文提出的从结构振动响应中在线识别时变频率和振幅的方法主要包含两个方面的内容: 一是利用APES（比FFT更高的分辨率）得到频谱，并从中自动提取固有频率和幅值 ; 二是将该单步提取算法嵌入到卡尔曼滤波框架中，以获得更鲁棒、更可靠的识别结果 。下面略呈其大意。

2.1 从频谱中自动提取频率和振幅

为了定量分析频率和幅值的变化规律，须从估计的频谱中提取频率和幅值。这通常利用峰值分析（peak analysis）来实现，需要选择适当的参数，如峰之间的最小距离，峰的最小高度等。然而，在在线处理时，这些预先确定的参数很难始终保证提取的效果。因此，我们提出了一种基于APES谱后处理的自动提取频率和振幅的方法。

如下图所示，首先利用FSP将原始均匀分布的谱线集中到固有频率附近，得到处理后的谱线聚集在局部峰值处的频谱；然后通过比较FSP处理前后的频谱，提取固有频率和幅值。

图2. (a)时程；(b)APES谱；(c)FSP后处理后的频谱（黑色线）；(d)提取的频率和幅值。

2.2 嵌入卡尔曼滤波的在线频率和幅值跟踪

假设提取的频率和幅值在相邻计算帧(??采样间隔)之间变化缓慢:

则，第k+1个计算帧可以构建为：

因此，将采集到的计算帧??作为状态向量，预测和测量方程可写成

测量矩阵H为单位阵，表示完全观测。

一些假设在此略去（详见原文），则可得到如下类似线性卡尔曼滤波的标准形式:

如式(31)所示，我们以某一测点的结构振动响应为状态变量，由状态估计导出实际关心的频率和幅值。

三、实际应用

3.1 一斜拉桥拉索的振动频率和幅值跟踪

对某斜拉桥的一根拉索持续24小时的振动信号(图3(a))进行分析。图3(b)绘制了识别的时变频率，图3(c)和3(d)放大了2.5~2.52h（夜间，车流量较小）和8.5~8.52h（上午，车流量较大）两个时间段的结果。

图3. (a)斜拉索加速度时程；(b)前6阶频率；(c)2.5~2.52h的局部放大图；(d)8.5~8.52h的局部放大图。

此外，图4和图5按照阶次在不同面板上重新绘制了图3(c)和3(d)中的结果，更清晰地显示了频率相对于振幅的波动。不难发现，如果振幅较大且变化较慢，则对应的频率方差较小（图4b，5b）。反之，如果振幅较小且变化迅速，则对应的频率更加离散（图4a，4f，5f）。这是合理的，因为我们的假定信号在一个计算帧的窗口内是平稳的。因此，频率的较大变化可能是由振幅的快速或突然变化引起的，而不一定是由结构本身的变化引起的。这也表明，振幅较大的频率(即主导模态)更可靠。

图4. 图3(c)中各阶频率和幅值。

图5. 图3(d)中各阶频率和幅值。

3.2 一拱桥吊杆的振动频率和幅值跟踪

同样，对一拱桥吊杆持续24小时的振动信号进行了分析。结果见图6。

图6. (a)吊杆加速度时程；(b)前4阶频率；(c)2.5~2.52h的局部放大图；(d)c中各阶频率和对应的幅值 。

3.3 一悬索桥主梁的振动频率和幅值跟踪

最后，我们分析了某悬索桥主梁的振动信号，信号由安装在主跨1/4处的加速度计记录。相比于前文分析的拉索和吊杆而言, 其振动模态在频率上几乎等间隔排列, 彼此分离；而大跨度悬索桥主梁的主要振动模态集中在低频区域并且有可能发生模态交叉，这为频率和幅值的跟踪带来了很大挑战。

主梁的加速度时程如图7(a)所示。图7(b)是跟踪结果，显示了不同时刻的频率。可以看出，悬梁桥在0.5Hz下表现出8个密集的竖向模态。观察图7所标记的区域，可以发现桥梁在该时段经历了涡激振动。从图7(a)的加速度时程和图7(b)中提取的频率和幅值都可以观察到涡激振动。后者为我们提供了更多能量在有关不同模态间的分布以及哪些模态参与了涡激振动的信息。

图7. (a)主梁加速度时程；(b)跟踪的结果（低频区）。

如图8(a)所示，我们放大了涡激振动期间时变频率的结果，并在图8(b)中绘制了时变的振幅。有趣的是，参与涡激振动的模态会发生转换：起初振动能量集中在第6阶模态上，然后第6阶模态振动能量逐渐降低，而第5阶模态振动能量逐渐增加，直到第5阶模态成为主导；随后，振动能量在短时间内再次集中在第6阶模态上。这种模式转换可能是由于风场条件的变化引起的涡脱频率的变化所致。此外，从图8中我们可以确定涡激振动发生的时间、最被激发的模态以及涡激振动的持续时间。这些将为悬索桥涡激振动的监测、感知和控制提供新的基础认识。

图8. (a) 涡振期间时变频率；(b)涡振期间时变振幅。

我们将视线拉回到时变频率的跟踪结果(图7b和8a)。对于低频区模态密集的主梁，在环境激励下，识别出的频率不可避免地会出现混叠或重合。因此，图7(b)和8(a)中的频率轨迹在某些时段出现‘紊乱’。而这种‘紊乱’在多大程度上是结构特征的真实反映（如结构模式穿越）值得进一步研究。这种现象在拉索和吊杆上表现得比较轻微，因为它们的模态更分散。

四、结论

为了从结构的监测数据中跟踪其固有频率和幅值，本文提出了一种基于APES谱后处理和卡尔曼滤波的方法。利用提出的方法对实际工程结构产生的振动信号进行了分析，证明了其在环境振动中在线提取频率和振幅的能力，主要结论如下：

• 在随机环境激励下，不同模态的振幅的大小和变化速率有很大的不同。对于振幅变化较大且缓慢的模态，识别的频率的方差较小，对于幅值变化较小且快速(未得到良好激励)的模态，识别频率的方差较大。这是因为严重的调幅会淹没结构振动的信息，给频率识别带来误差。另一方面，振幅是振动能量的度量，振幅越大，模态激励越好，信噪比越高，识别频率越可靠。一定程度上，识别的幅值可以用来衡量识别频率的可靠性。

• 在随机环境激励下，不确定哪些模态得到了很好的激励，并且有时候信噪比会很低导致结构振动的特征信息淹没在噪声中。这给频率和振幅的在线跟踪带来了挑战。该方法利用卡尔曼滤波保持跟踪结果的鲁棒性，在长期分析中表现出良好的性能。然而，对于非常密集的模态，当环境变化引起较大的频率波动时，跟踪结果可能是混淆的。

• 本文提出的频率对齐方案（在微信推文中未作介绍，详见原文）要求模态相互分离，这对大多数工程结构都是适用的；在处理模式交叉的情况时，须做重新设计。