[笔记]抛物线与合理拱轴线

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    根据结构力学的知识可知，抛物线为 三铰拱（Three hinged arch） 在承受 满跨竖向均布荷载 下的合理拱轴线，即 三铰拱 按抛物线布置，拱在 满跨竖向均布荷载 作用下，只受轴力，不受弯矩。基本简图如下图所示。

    采用Rhino结合Grasshopper进行抛物线绘制。由于Grasshopper似乎没有直接进行抛物线绘制的电池(测试了interpolate似乎不对），所以抛物线需要通过计算方程的形式进行绘制。

    抛物线的基本方程为 y=ax^2 bx c，其中，a、b、c均为待定参数。通过3个点的坐标，可获得这三个参数。此外，过3点也可以绘制一条圆弧，顺带对比圆弧 arc 和抛物线 parabola的差异。

    下图为采用Grasshopper进行圆弧及抛物线绘制的脚本，

    通过拖拉Slider可以控制拱的跨度及高度，获得不同矢跨比的抛物线及圆弧的拱，下图为跨度/矢高 = 2.2857时圆弧及抛物线的对比，可以看出两个曲线的明显差异。

    以下对比不同跨/高比下，圆弧及抛物线的差异

    由图可见，跨高比越大，圆弧及抛物线的差异越小，当跨高比在5左右时，两者相差较小。

    接下来，测算拱的受力，将跨高比为2.2857的一组圆弧及抛物线导入midas gen进行计算。以下考虑3支座条件下（支座固接，支座铰接，三角拱：支座铰接及跨中固接）抛物线拱的受力。由图可见，在承受 满跨竖向均布荷载 下，只有三角拱的弯矩为0，其他支座条件下，弯矩不为零。从这里也可知，合理拱轴线是与支座条件相关的。（ 简直是废话。 ）

    此外顺便对比在承受 满跨竖向均布荷载 下，抛物线拱及圆弧拱的受力差异。由图可见，圆弧拱的弯矩远大于抛物线拱。

    前面例子测试中提了，合理拱轴线与边界条件有关，其实合理拱轴线是在特定的荷载和边界条件下提出来的，不同荷载及边界条件有不同的合理拱轴线。抛物线作为合理拱轴线主要适用于 三铰拱 在 满跨竖向均布荷载 条件下 。 如果三铰拱荷载不是 满跨竖向均布荷载， 那合理拱轴线就不是抛物线。最经典的例子是如果荷载不是 满跨竖向均布荷载， 而是自重作用，那么三铰拱的合理拱轴线就是倒过来的 悬链线 了。

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